欧拉拓扑公式(五个著名的数学定理名称)
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2024-04-03
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1. 欧拉拓扑公式,五个著名的数学定理名称?
第一宇宙定律:“天圆地方的平直的欧几里德时空观”,可形象的表述为“遥望星空无边际,天圆地方勾股弦,平直思维圆魅力,割圆求和无极限”;
第二宇宙定律:“站在第谷—开普勒肩膀上的牛顿绝对时空观”,可形象的表述为“绝对时空两分离,万有引力三定律,流数变化求极限,自然哲学新原理”;
第三宇宙定律:“空间收缩,时间延缓的爱因斯坦相对论时空观”,可形象的表述为“相对原理惯性系,时空混合创新奇,时空伸缩光不变,引力潮汐曲率波”;
第四宇宙定律:“具有时间矢的霍金膜理论的光锥时空观”,可形象的表述为“光锥时空无限美,时空薄膜宇宙飘,熵增无序时间矢,量子混沌黑洞不黑”;
第五宇宙定律定理:“具有M—J混沌分形图谱的曼德布罗特(Mandelbrot)混沌分形时空观”,可形象的表述为“时空破碎分形维,图中嵌图形镶形,初始敏感无标度,拉压折叠拓扑稠,五集轨道演混沌,无限周期有新序”。
2. 欧拉不等式公式?
欧拉不等式
欧拉不等式是一种数学不等式, 其中包含了多个有关组合数、幂函数和幂次的关系。它可以表示为:
(a+b)^n ≥ a^n + b^n
其中, a和b是实数, n是正整数。
欧拉不等式的证明需要用到数学归纳法, 证明过程略去。欧拉不等式在数学中有着广泛的应用, 它可以用来证明某些数学结论或解决某些问题。
例如:
证明平方和不等式: 对于任意的实数a, b, 有a^2 + b^2 ≥ 2ab。
证明抛物线的轨迹: 对于抛物线y = ax^2 + bx + c(a>0), 当x取最大值时, 其y值最小, 并且y最小值为c。
求解数学最优化问题: 可以使用欧拉不等式来求解数学最优化问题, 如求解线性规划的最优解等。
3. 求数学七大名著?
1、《从微分观点看拓扑》。
2、《无穷小分析引论》。
3、《自然哲学之数学原理》。
4、《几何原本》。
5、《数论报告》 。
6、《算术研究》。
7、《代数几何原理》。
数学,是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段,可以应用于现实世界的任何问题,所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上,数学属于形式科学,而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
在人类历史发展和社会生活中,数学发挥着不可替代的作用,同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
4. 2i用欧拉公式表示?
分式里的欧拉公式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+ce^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。e^ix=cosx+isinx的证明:
因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1……(注意:其中”〒”表示”减加”)
e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x,得到:
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:
e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式
三角形中的欧拉公式
设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:d^2=r^2-2rr
拓扑学里的欧拉公式
v+f-e=x(p),v是多面体p的顶点个数,f是多面体p的面数,e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。
如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一个接有h个环柄的球面,那么x(p)=2-2h。
x(p)叫做p的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系v+f-e=2
这个公式叫欧拉公式
初等数论里的欧拉公式
欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子:
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。
(6)立体图形里的欧拉公式:
面数+顶点数—2=棱数
5. 代数拓扑的经典应用包括哪些呢?
代数拓扑在物理中的应用一般都很浅,大多数情况只是使用到概念层面,很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群,同调群和上同调群。在场论中,这三个概念有各自常用的使用语境。同伦群:常见于刻画规范场位形的拓扑结构,最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类,分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群,比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。同调群:同调群用得相对较少,用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞,或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞,就可以讨论非平凡的拓扑荷(拓扑通量)。比如的,就可以讨论磁单极子的整数磁通量,或者电荷慈磁荷量子化。利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系,还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛,或者更复杂的 gerbe(高级线丛)。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型,target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构,从而 target space 上定义了一个 gerbe。在2维拓扑非线性 Sigma 模型中,A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面,比如球面,因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射,就用映射所属同调类。上同调群:物理中用得最多的代数拓扑对象。
1)规范场中,刻画相应矢量丛的拓扑通常是会用示性类,这些示性类都是空间流形上的上同调类。比如计算欧拉示性数用欧拉类,瞬子数用陈特性,涡旋数用第一陈类。
2)2维拓扑 Sigma 模型中,B-twist 和 A-twist BPS 算符代数对应到目标流形的 de Rham 上同调,或者,超对称算符,,变成外微分算子,Dolbeault 算符,BPS 算符的关联函数变成目标流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 则是联系 Mirror-对偶的 Calabi-Yau 目标流形对应的 A-twist 和 B-twist 模型,两个目标流形有对调的上同调群。
3)许多时候物理问题需要研究某些算符的上同调群。最常见就是超对称量子力学中超对称算符的上同调群,这个上同调群的生成元与系统的基态(即的调和态)一一对应。算符的 Witten index 定义为复形的欧拉示性数,是超对称物理中比较重要的数。指标定理:作为重要的计算工具,指标定理也出现在不少物理问题中(当然本质上都是数学家早就熟知的数学问题)。1)比如计算某些带拓扑荷的规范场位形的模空间,包括涡旋,瞬子,Seiberg-Witten 解,拓扑弦中黎曼曲面的复结构模空间维度;2)计算各类反常,比如手征反常,规范反常使用 Dirac 算子的指标;3)有时某些算符的指标直接就是计算目标,比如 Witten index
4)有时需要计算算符的superdeterminant,可以找与之交换的微分算符 ,并通过计算的(等变)指标来获得的波色、费米本征谱之间的不完全抵消关系,然后写下superdeterminant
6. 哥德巴赫猜想和霍奇猜想?
哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,但是一直到死,欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决,但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和,也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。
霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出,它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。属于世界七大数学难题之一。霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。
7. 德国数学家排名?
德国的教育水平一直闻名于世,德国对于教育的注重和科研成就也是所有人有目共睹的。德国近现代历史上曾经诞生了许多伟大数学家,特意挑选出其中个人觉得最优秀的十位数学家:
NO10 康托尔
等级: 天才
类型:创造性突破
代表性成果:
1.集合论
2.超穷数理论
简评:
最具有革命性的数学家 康托尔,两千多年来,科学家们接触到无穷,却又无力去把握和认识它,这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特,想象力之丰富,方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论,令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲,“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”而他创立的集合论,已经成为了现代数学基础理论大厦。
NO9 外尔
等级: 天才
类型: 大师
代表性成果:
1.群论
2.积分方程
3.黎曼曲面
简评:
希尔伯特的继承人,对表示论,李群李代数,微分拓扑,复几何等分支都有奠基性贡献。由于数学各学科研究越来越广泛而深入,庞加莱,希尔伯特去世后,因而现代已经没有在数学所有领域都通的数学家了,外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”。
NO8. 狄利克雷
等级: 天才
类型:开创性突破
代表性成果:
1.解析数论(创始人)
2.数学分析
3.数学物理
简评:
狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献,尤以分析、数论、位势论为最。
“狄利克雷是一位极有洞察力的数学家,给出了现代函数概念的精确解释"。并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。
并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。
NO7. 雅可比
等级: 超天才
类型: 大师
代表性成果:
1.代数学
2.椭圆函数论
3.复变函数论
简评:
雅可比对数学具有非常深刻的洞察力,用天才已经无法形容他的数学天赋,他可怕的心算能力历史上估计仅次于欧拉。他的工作包括代数学、变分法、数学分析,复变函数论和微分方程,以及数学史的研究。将不同的数学分支连通起来是他的研究特色。他不仅把椭圆函数论引进数论研究中,得到了同余论和型的理论的一些结果,还引进到积分理论中。而积分理论的研究又同微分方程的研究相关联。此外,尾乘式原理也是他提出的。
现代数学许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字,可见雅可比的成就对后人影响之深。
NO6. 魏尔斯特拉斯
等级: 超天才
类型: 史诗性突破
代表性成果:
1.数学分析(现代分析学之父)
2.微积分严格化
3.复变函数论
4.提出ε-N语言和ε-δ语言
简评:
老魏是一位具有深刻洞察力和观察力的超级数学天才,以ε-δ语言,系统建立了实分析和复分析的基础,基本上完成了分析的算术化和严格化,被誉为"现代分析之父"。
并且为微积分严格化,做出了史诗性贡献,通过澄清极小、极大、函数、导数等概念,他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法,扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念,决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。
今天,分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。
NO5. 诺特
等级: 超天才
类型:革命性突破
代表成果:
1.抽象代数 (抽象代数之母)
2.诺特定理
3.数学物理
简评:
她的研究领域为抽象代数和理论物理学。她善于藉透彻的洞察建立优雅的抽象概念,再将之漂亮地形式化,她彻底改变了环、域和代数的理论。
她从不同领域的相似现象出发,把不同的对象加以抽象化、公理化,然后用统一的方法加以处理,完成了《环中的理想论》这篇重要论文。这是一项非常了不起的数学创造,它标志着抽象代数学真正成为一门数学分支,或者说标志着这门数学分支现代化的开端。诺特也因此获得了极大的声誉,被誉为是“现代数学代数化的伟大先行者”,“抽象代数之母”。
NO4 .莱布尼茨
等级: 准神
类型: 百科全书式数学家
代表性成果:
1.微积分(创始人)
2.数理逻辑
3.数学符号
4.拓扑学
简评:
德国哲学家、数学家,历史上少见的通才,被誉为十七世纪的亚里士多德。
莱布尼茨几乎精通他所处时代所有数学分支,拓扑学这个当代最难的数学分支之一,最早就是他提出的。他发明的微积分比牛顿的简单先进,他的微积分和数学符号在世界几乎占有统治地位。。。。。。
NO3 .希尔伯特
等级: 准神
类型: 数学界无冕之王
代表性成果:
1.不变量理论
2.代数数域理论
3.几何学
简评:
作为20世纪的数学教父,他的伟大成就几乎遍及当时所有数学分支,对基础数学都做出了开创性贡献。
他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的至高点,对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”,他是天才中的天才。
NO2. 高斯
级别:神
类型:统治时代
代表性成果:
1.算术探索(初等数论集大成者,代数数论萌芽,18世纪最伟大的数学著作,不解释)
2.曲面内蕴微分几何(黎曼几何的重要源头,微分几何奠基之作,非欧几何代表工作之一,启发现代几何学)
3.概率论正态分布
4.高斯绝妙定理
5.高斯电磁定律
简评:
做为古典数学集大成者,现代数学的重要启发者和奠基人,王子的成就覆盖了数学各个分支,公认的数论史上第一人,几何学史上top5,初等数论集大成者,代数数论萌芽始祖,现代微分几何鼻祖,对概率论作出重大贡献,并且在非欧几何,代数数论,椭圆函数论,椭圆积分作出早期系列工作,并且在电磁学,大地测量学,天文学等取得不凡成绩。
王子的学术成就遍布数学各个领域和分支,并且极具深度与完成度,毫无疑问,在一切时代,高斯都是史上最伟大的数学家之一!尤其在学术广度,全面度以及公众影响力,以及数学史地位,高斯基本上都是公认的数学之王,历史第一人。
NO1. 黎曼
等级: 超神
类型:超越时代
代表性成果:
1.黎曼几何(人类数学史,物理史,乃至思想史,史上最重要一次智慧与认知突破,对整个人类意义层面上来说,黎曼几何产生的时空观念,堪与牛顿力学,进化论,相对论,量子力学等相媲美,其重要意义远超过微积分和群论,没有争议。)
2.黎曼曲面,流形(现当代数学,物理的最重要的数学构造和基础工具之一,不解释)
3.黎曼洛赫定理(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一,不解释)
4.黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗?不解释)
5.黎曼猜想(最重要的数学猜想,史上最惊艳的个人秀,单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力,一篇仅仅八页的短文,160年前,迄今未被超越)
简评:
从纯数学学术成就角度来看,黎曼占据榜首是不存在任何争议的,这么说可能会让很多高斯粉,欧拉粉,牛顿粉不开心,但从数学成就的角度来看,黎曼无论在重要性,影响力,颠覆性个突破性上,都远远超过高斯,欧拉,牛顿,换言之,黎曼在数学上的成就,大约等于高斯加欧拉再加上牛顿和庞加莱的总和,他们的差距大概这么远。
黎曼以下的数学家,跟他差距都比较大,基本不在一个等级上,除了庞加莱在拓扑学难度上可以稍微接近之外。
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1. 欧拉拓扑公式,五个著名的数学定理名称?
第一宇宙定律:“天圆地方的平直的欧几里德时空观”,可形象的表述为“遥望星空无边际,天圆地方勾股弦,平直思维圆魅力,割圆求和无极限”;
第二宇宙定律:“站在第谷—开普勒肩膀上的牛顿绝对时空观”,可形象的表述为“绝对时空两分离,万有引力三定律,流数变化求极限,自然哲学新原理”;
第三宇宙定律:“空间收缩,时间延缓的爱因斯坦相对论时空观”,可形象的表述为“相对原理惯性系,时空混合创新奇,时空伸缩光不变,引力潮汐曲率波”;
第四宇宙定律:“具有时间矢的霍金膜理论的光锥时空观”,可形象的表述为“光锥时空无限美,时空薄膜宇宙飘,熵增无序时间矢,量子混沌黑洞不黑”;
第五宇宙定律定理:“具有M—J混沌分形图谱的曼德布罗特(Mandelbrot)混沌分形时空观”,可形象的表述为“时空破碎分形维,图中嵌图形镶形,初始敏感无标度,拉压折叠拓扑稠,五集轨道演混沌,无限周期有新序”。
2. 欧拉不等式公式?
欧拉不等式
欧拉不等式是一种数学不等式, 其中包含了多个有关组合数、幂函数和幂次的关系。它可以表示为:
(a+b)^n ≥ a^n + b^n
其中, a和b是实数, n是正整数。
欧拉不等式的证明需要用到数学归纳法, 证明过程略去。欧拉不等式在数学中有着广泛的应用, 它可以用来证明某些数学结论或解决某些问题。
例如:
证明平方和不等式: 对于任意的实数a, b, 有a^2 + b^2 ≥ 2ab。
证明抛物线的轨迹: 对于抛物线y = ax^2 + bx + c(a>0), 当x取最大值时, 其y值最小, 并且y最小值为c。
求解数学最优化问题: 可以使用欧拉不等式来求解数学最优化问题, 如求解线性规划的最优解等。
3. 求数学七大名著?
1、《从微分观点看拓扑》。
2、《无穷小分析引论》。
3、《自然哲学之数学原理》。
4、《几何原本》。
5、《数论报告》 。
6、《算术研究》。
7、《代数几何原理》。
数学,是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段,可以应用于现实世界的任何问题,所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上,数学属于形式科学,而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。
在人类历史发展和社会生活中,数学发挥着不可替代的作用,同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。
4. 2i用欧拉公式表示?
分式里的欧拉公式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+ce^ix=cosx+isinx,e是自然对数的底,i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位。e^ix=cosx+isinx的证明:
因为e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1,(±i)^3=〒i,(±i)^4=1……(注意:其中”〒”表示”减加”)
e^±ix=1±x/1!-x^2/2!+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
将公式里的x换成-x,得到:
e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到:sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i),cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到:
e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式
三角形中的欧拉公式
设r为三角形外接圆半径,r为内切圆半径,d为外心到内心的距离,则:d^2=r^2-2rr
拓扑学里的欧拉公式
v+f-e=x(p),v是多面体p的顶点个数,f是多面体p的面数,e是多面体p的棱的条数,x(p)是多面体p的欧拉示性数。
如果p可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上),那么x(p)=2,如果p同胚于一个接有h个环柄的球面,那么x(p)=2-2h。
x(p)叫做p的欧拉示性数,是拓扑不变量,就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量,是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系v+f-e=2
这个公式叫欧拉公式
初等数论里的欧拉公式
欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里,和n互素的整数的个数。n是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子:
如果n的标准素因子分解式是p1^a1*p2^a2*……*pm^am,其中众pj(j=1,2,……,m)都是素数,而且两两不等。则有
φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)……(1-1/pm)
利用容斥原理可以证明它。
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。
(6)立体图形里的欧拉公式:
面数+顶点数—2=棱数
5. 代数拓扑的经典应用包括哪些呢?
代数拓扑在物理中的应用一般都很浅,大多数情况只是使用到概念层面,很少用到代数拓扑深刻的定理。常见的概念有同伦群,同调群和上同调群。在场论中,这三个概念有各自常用的使用语境。同伦群:常见于刻画规范场位形的拓扑结构,最常见的就是刻画球面、环面或者欧几里得空间上的矢量丛的拓扑。比如涡旋、瞬子的等价类对应 和的矢量丛等价类,分别用 和来刻画。纤维丛的同伦恰当序列也常用于计算一些比较难算的同伦群,比如的高维同伦群。又如上规范反常的存在性可以归结为“无穷维规范变换群的基本群是否平凡”。同调群:同调群用得相对较少,用的时候也通常只用来表征目标流形有多少洞,或者对某些几何对象进行分类讨论。有了洞,就可以讨论非平凡的拓扑荷(拓扑通量)。比如的,就可以讨论磁单极子的整数磁通量,或者电荷慈磁荷量子化。利用奇异同调群与 Cech 上同调的关系,还可以用奇异同调群、Cech 上同调来分类流形上的线丛,或者更复杂的 gerbe(高级线丛)。Gerbe 在物理中出现在一般的 2d有 H-flux 的非线性 Sigma 模型,target space 受超对称数量要求具有 Bi-hermitian 结构,从而 target space 上定义了一个 gerbe。在2维拓扑非线性 Sigma 模型中,A-twist 的 BPS 位形是世界面到目标流形的全纯映射。由于世界面可能是任意的黎曼曲面,比如球面,因此就有各种不同的拓扑不等价的映射。刻画这些拓扑不等价的映射,就用映射所属同调类。上同调群:物理中用得最多的代数拓扑对象。
1)规范场中,刻画相应矢量丛的拓扑通常是会用示性类,这些示性类都是空间流形上的上同调类。比如计算欧拉示性数用欧拉类,瞬子数用陈特性,涡旋数用第一陈类。
2)2维拓扑 Sigma 模型中,B-twist 和 A-twist BPS 算符代数对应到目标流形的 de Rham 上同调,或者,超对称算符,,变成外微分算子,Dolbeault 算符,BPS 算符的关联函数变成目标流形上的量子 interseciton number。Mirror symmetry 则是联系 Mirror-对偶的 Calabi-Yau 目标流形对应的 A-twist 和 B-twist 模型,两个目标流形有对调的上同调群。
3)许多时候物理问题需要研究某些算符的上同调群。最常见就是超对称量子力学中超对称算符的上同调群,这个上同调群的生成元与系统的基态(即的调和态)一一对应。算符的 Witten index 定义为复形的欧拉示性数,是超对称物理中比较重要的数。指标定理:作为重要的计算工具,指标定理也出现在不少物理问题中(当然本质上都是数学家早就熟知的数学问题)。1)比如计算某些带拓扑荷的规范场位形的模空间,包括涡旋,瞬子,Seiberg-Witten 解,拓扑弦中黎曼曲面的复结构模空间维度;2)计算各类反常,比如手征反常,规范反常使用 Dirac 算子的指标;3)有时某些算符的指标直接就是计算目标,比如 Witten index
4)有时需要计算算符的superdeterminant,可以找与之交换的微分算符 ,并通过计算的(等变)指标来获得的波色、费米本征谱之间的不完全抵消关系,然后写下superdeterminant
6. 哥德巴赫猜想和霍奇猜想?
哥德巴赫1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想:任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,但是一直到死,欧拉也无法证明。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定,原初猜想的现代陈述为:任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本,即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。今日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立,即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和,或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本,即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和,亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。 从关于偶数的哥德巴赫猜想,可推出:任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的,则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。弱哥德巴赫猜想尚未完全解决,但1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和,也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。
霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。由威廉·瓦伦斯·道格拉斯·霍奇提出,它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。属于世界七大数学难题之一。霍奇猜想与费马大定理和黎曼猜想成为广义相对论和量子力学融合的m理论结构几何拓扑载体和工具。
7. 德国数学家排名?
德国的教育水平一直闻名于世,德国对于教育的注重和科研成就也是所有人有目共睹的。德国近现代历史上曾经诞生了许多伟大数学家,特意挑选出其中个人觉得最优秀的十位数学家:
NO10 康托尔
等级: 天才
类型:创造性突破
代表性成果:
1.集合论
2.超穷数理论
简评:
最具有革命性的数学家 康托尔,两千多年来,科学家们接触到无穷,却又无力去把握和认识它,这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特,想象力之丰富,方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论,令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲,“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”而他创立的集合论,已经成为了现代数学基础理论大厦。
NO9 外尔
等级: 天才
类型: 大师
代表性成果:
1.群论
2.积分方程
3.黎曼曲面
简评:
希尔伯特的继承人,对表示论,李群李代数,微分拓扑,复几何等分支都有奠基性贡献。由于数学各学科研究越来越广泛而深入,庞加莱,希尔伯特去世后,因而现代已经没有在数学所有领域都通的数学家了,外尔被称为上世纪上半叶出现的最后一位“全能数学家”。
NO8. 狄利克雷
等级: 天才
类型:开创性突破
代表性成果:
1.解析数论(创始人)
2.数学分析
3.数学物理
简评:
狄利克雷在数学和力学两个领域都做出了名垂史册的重大贡献,尤以分析、数论、位势论为最。
“狄利克雷是一位极有洞察力的数学家,给出了现代函数概念的精确解释"。并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。
并提出新的单值函数概念,还提出所谓“狄利克雷函数”、所谓“狄利克雷积分”等。他还在位势论、热学、磁学、数学物理等方面也有一些创造。
NO7. 雅可比
等级: 超天才
类型: 大师
代表性成果:
1.代数学
2.椭圆函数论
3.复变函数论
简评:
雅可比对数学具有非常深刻的洞察力,用天才已经无法形容他的数学天赋,他可怕的心算能力历史上估计仅次于欧拉。他的工作包括代数学、变分法、数学分析,复变函数论和微分方程,以及数学史的研究。将不同的数学分支连通起来是他的研究特色。他不仅把椭圆函数论引进数论研究中,得到了同余论和型的理论的一些结果,还引进到积分理论中。而积分理论的研究又同微分方程的研究相关联。此外,尾乘式原理也是他提出的。
现代数学许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字,可见雅可比的成就对后人影响之深。
NO6. 魏尔斯特拉斯
等级: 超天才
类型: 史诗性突破
代表性成果:
1.数学分析(现代分析学之父)
2.微积分严格化
3.复变函数论
4.提出ε-N语言和ε-δ语言
简评:
老魏是一位具有深刻洞察力和观察力的超级数学天才,以ε-δ语言,系统建立了实分析和复分析的基础,基本上完成了分析的算术化和严格化,被誉为"现代分析之父"。
并且为微积分严格化,做出了史诗性贡献,通过澄清极小、极大、函数、导数等概念,他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法,扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念,决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。
今天,分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。
NO5. 诺特
等级: 超天才
类型:革命性突破
代表成果:
1.抽象代数 (抽象代数之母)
2.诺特定理
3.数学物理
简评:
她的研究领域为抽象代数和理论物理学。她善于藉透彻的洞察建立优雅的抽象概念,再将之漂亮地形式化,她彻底改变了环、域和代数的理论。
她从不同领域的相似现象出发,把不同的对象加以抽象化、公理化,然后用统一的方法加以处理,完成了《环中的理想论》这篇重要论文。这是一项非常了不起的数学创造,它标志着抽象代数学真正成为一门数学分支,或者说标志着这门数学分支现代化的开端。诺特也因此获得了极大的声誉,被誉为是“现代数学代数化的伟大先行者”,“抽象代数之母”。
NO4 .莱布尼茨
等级: 准神
类型: 百科全书式数学家
代表性成果:
1.微积分(创始人)
2.数理逻辑
3.数学符号
4.拓扑学
简评:
德国哲学家、数学家,历史上少见的通才,被誉为十七世纪的亚里士多德。
莱布尼茨几乎精通他所处时代所有数学分支,拓扑学这个当代最难的数学分支之一,最早就是他提出的。他发明的微积分比牛顿的简单先进,他的微积分和数学符号在世界几乎占有统治地位。。。。。。
NO3 .希尔伯特
等级: 准神
类型: 数学界无冕之王
代表性成果:
1.不变量理论
2.代数数域理论
3.几何学
简评:
作为20世纪的数学教父,他的伟大成就几乎遍及当时所有数学分支,对基础数学都做出了开创性贡献。
他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上,提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题,被认为是20世纪数学的至高点,对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展,在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜,希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”,他是天才中的天才。
NO2. 高斯
级别:神
类型:统治时代
代表性成果:
1.算术探索(初等数论集大成者,代数数论萌芽,18世纪最伟大的数学著作,不解释)
2.曲面内蕴微分几何(黎曼几何的重要源头,微分几何奠基之作,非欧几何代表工作之一,启发现代几何学)
3.概率论正态分布
4.高斯绝妙定理
5.高斯电磁定律
简评:
做为古典数学集大成者,现代数学的重要启发者和奠基人,王子的成就覆盖了数学各个分支,公认的数论史上第一人,几何学史上top5,初等数论集大成者,代数数论萌芽始祖,现代微分几何鼻祖,对概率论作出重大贡献,并且在非欧几何,代数数论,椭圆函数论,椭圆积分作出早期系列工作,并且在电磁学,大地测量学,天文学等取得不凡成绩。
王子的学术成就遍布数学各个领域和分支,并且极具深度与完成度,毫无疑问,在一切时代,高斯都是史上最伟大的数学家之一!尤其在学术广度,全面度以及公众影响力,以及数学史地位,高斯基本上都是公认的数学之王,历史第一人。
NO1. 黎曼
等级: 超神
类型:超越时代
代表性成果:
1.黎曼几何(人类数学史,物理史,乃至思想史,史上最重要一次智慧与认知突破,对整个人类意义层面上来说,黎曼几何产生的时空观念,堪与牛顿力学,进化论,相对论,量子力学等相媲美,其重要意义远超过微积分和群论,没有争议。)
2.黎曼曲面,流形(现当代数学,物理的最重要的数学构造和基础工具之一,不解释)
3.黎曼洛赫定理(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一,不解释)
4.黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗?不解释)
5.黎曼猜想(最重要的数学猜想,史上最惊艳的个人秀,单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力,一篇仅仅八页的短文,160年前,迄今未被超越)
简评:
从纯数学学术成就角度来看,黎曼占据榜首是不存在任何争议的,这么说可能会让很多高斯粉,欧拉粉,牛顿粉不开心,但从数学成就的角度来看,黎曼无论在重要性,影响力,颠覆性个突破性上,都远远超过高斯,欧拉,牛顿,换言之,黎曼在数学上的成就,大约等于高斯加欧拉再加上牛顿和庞加莱的总和,他们的差距大概这么远。
黎曼以下的数学家,跟他差距都比较大,基本不在一个等级上,除了庞加莱在拓扑学难度上可以稍微接近之外。
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